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Diagrammes d'état en transition

Mark Thomas - 11th February, 2002.
Avant de commencer:
  • La connaissance des siteswaps est assumée.
  • Pour mieux benéficier de cet article, il est recommandé d’avoir au moins Microsoft Excel 97.

Introduction

Au cours des 20 dernières années, de nouvelles découvertes en mathématiques ont marqué le monde des jongleurs. La plus importante de celles-ci est probablement la découverte des siteswaps. Ceux-ci furent développés en même temps par des personnes différentes.

Plus récemment, une autre découverte importante a été faite, celle des diagrammes d’état de transition. Cette idée a été développée par Jack Boyce. Je vais essayer d’en faire une explication sommaire dans l’article qui suit et y ajouter quelques-unes de mes propres découvertes.

Ce que les diagrammes signifient.

Dans un diagramme d’état, la série de chiffres décrit en gros un moment dans le temps. Les chiffres indiquent la position de la balle en un instant donné. Cependant, ils ne prennent pas en compte la position spatiale des balles, mais seulement le moment où elles atterriront.

Dans un diagramme d’état, un 1 signifie que la balle est dans telle ou telle position, et un 0 indique un temps mort. Une chaîne binaire est un arrangement de balles qui montre l’ordre dans lequel les balles seront lancées. Les balles sont lancées de la droite vers la gauche. Chaque fois qu’une balle est lancée, toutes les autres balles avancent d’une case vers la gauche. Prenons un exemple simple:

111 – L’état de base d’une cascade à 3 balles. Si on lance un 3 (la balle verte), cette balle se retrouvera 3 places vers la gauche et retourna au début de la queue. La nouvelle position que nous obtiendrons sera: 111, qui est en fait le même état, et donc, la cascade continue.

Maintenant, que se passerait-il si on lançait un 4? En repartant de 111, si on lance un 4 (qui serait encore la balle verte), on obtiendrait l’état 1011. Essayons maintenant de lancer un 2 (note: techniquement, un 2 est un lancer bas qui est rattrapé par la main qui a lancé; cependant, la plupart des jongleurs ne préfèrent pas la lancer et la gardent en main jusqu’au lancer suivant). Lancer un 2 (la balle bleue) ramènerait l’état à 111.

En quoi cela peut-il être utile?

Bon, en ce moment, vous devez vous demander quel est l’intérêt de ce système. En fait, en dessinant soigneusement des diagarmmes, c’est très facile de créer de nouveaux siteswaps et de les connecter entre eux. Je vais commencer par faire un tableau qui couvre les états de 3 balles avec une hauteur maximum de 5:
Type de lancer:
Numéro: Etat: 0 1 2 3 4 5
1 111 - - - 1 2 3
2 1011 - - 1 - 4 5
3 10011 - - 2 4 - 6
4 1101 - 1 - - 7 8
5 10101 - 2 - 7 - 9
6 11001 - 4 7 - - 10
7 1110 1 - - - - -
8 10110 2 - - - - -
9 11010 4 - - - - -
10 11100 7 - - - - -

Pour se servir de ce tableau, il faut d’abord choisir l’état dans lequel on démarre. Pour commencer, on va prendre l’état 1 (111). En jonglant une cascade de 3 balles, chaque lancer est un 3, et chaque lancer part de l’état 1 et revient au même état 1. En lançant un 5, un regard sur la colonne pour l’état 1 montrera que tu es maintenant à l’état 3 (10011). Maintenant, si tu lances un 3, en regardant la colonne pour l’état 3, le tableau montre que tu devras te déplacer vers l’état 4 (1101). Maintenant, lance un 1, qui te ramènera à l’état 1, et reprend la cascade. Voilà, tu viens de faire un cycle de 531. En te servant du tableau, pour chaque état donné, tu peux faire un lancer pour n’inmporte quel numéro indiqué dans le tableau. De plus, chaque figure peut recevoir une valeur d’un lancer 5 ou moins et figure sur le tableau, qui cependant a des limitations.

Il ne permet que des lancers de valeur maximale 5. On peut augmenter la valeur maximale, mais le tableau devient rapidement immense. Cette méthode n’est pas particulièrement visuellement adéquate pour faire ressortir ces figures.

Une meilleure façon de procéder est de se servir d’une matrice qui fait figurer tous les états possibles (avec limites de valeurs de lancers et de balles) sur les deux axes et en notant sur la matrice, on peut décrire les différentes façons de passer d’un état à un autre. L’axe vertical indique l’état présent et l’axe horizontal montre l’état d’arrivée d’un lancer d’une certaine hauteur.

Un autre point intéressant à propos de ce tableau est que tous les états jusqu’à 1111 y figurent, c’est-à-dire pas uniquement les états à 3 balles. En faisant une liste de toutes les possibilités, des figures vont émérger, et celles-ci ne seront pas forcément claires si tu n’y fais figurer que les états possibles pour un certain nombre de balles.

Ok, maintenant on va voir comment on se sert de ce tableau. Commençons par un 441 à partir de la cascade à 3 balles. Nous savons que l’état de base de la cascade à 3 balles est 111, commençons donc par 111 (numéro 7 dans le tableau). D’abord, il va falloir lancer un 4. En suivant la colonne 7 jusqu’à ce qu’on trouve un 4, on atterrit sur la colonne 11, ce qui veut dire qu’on est maintenant à l’état 11 (1011). On part maintenant de l’état 11 pour aller chercher un autre 4. En suivant la colonne 11, on arrive maintenant à l’état 13. Enfin, en suivant la colonne pour l’état 13 et en cherchant un 1, on retourne à l’état 7, c’est-à-dire là où on a commencé!

Tu auras sûrement remarqué la ligne diagonale qui traverse le tableau. Cette ligne est un point de référence. Imagine par exemple que tu te trouves à l’état 11 (1011) et que tu lances un 4. Cela t’amènera à l’état 13. Plutôt que de repartir de l’état 13, tu peux te déplacer le long de la ligne jusqu’à ce que tu rencontres la carré gris. Ensuite, il te restera juste à trouver le prochain lancer à partir du carré gris, c’est –à-dire vers la droite ou la gauche sur la même rangée. L’exemple du 441 est décrit ci-dessous.


Remarque: En te servant des carrés gris comme points de référence, tu n’auras plus besoin de retourner aux numéros des états, vu que tu ne te déplaces qu’horizontalement quand tu choisis le lancer suivant. Commence par trouver les siteswaps que tu connais déjà dans le tableau, puis essaye d’en trouver de nouveaux. Tu verras, c’est agréablement simple!

Tu auras aussi remarqué les + et les -. Si tu regardes les états binaires se terminant par un 0, tu remarqueras aussi que les deux options possibles sont 0 et +. Tu peux soit ‘lancer’ un 0, soit rajouter une balle, qui est représentée par un +. Quel que soit ton choix, tu seras amené à l’état suivant. Remarque: Lorsque tu ajoutes une balle, celle-ci est lancée immédiatement.

  • Télécharge un tableau d’états indiquant tous les états jusqu’à une hauteur maximale de 8 (Microsoft Excel 95 au moins requis) - statechart.xls (103KB)
Une des caractéristiques les plus utiles de ce tableau est de pouvoir montrer les étapes de transition. Supposons qu’on soit à l’état 15 (1111) et que tu veuilles lancer un 561, qui est lancé de l’état 23 (10111). Si tu suis le carré gris de référence pour chaque état, il apparaîtra clairement qu’en lançant un 5, tu te déplaceras de l’état 15 à l’état 23. Supposons maintenant que tu veuilles passer de 561 à 714. 714 est lancé de l’état 27 (11011). Tu verras qu’en lançant un autre 5, tu te retrouveras à l’état 27.

Essayons le binaire

A partir d’ici, je vais assumer que tu comprends le système de chiffres binaires. Le binaire est un système numérique de base 2, où les seuls chiffres possibles sont 0 ou 1. Ce système est donc idéal pour la notation de diagrammes d’état, vu que ceux-ci sont justement décrits par des 0 et des 1. En se servant de décimales pour une notation binaire, le seul inconvénient est qu’il est difficile de différencier les balles les unes des autres. Cependant, ce n’est pas vraiment un problème, comme nous le montrerons plus loin.

Si on commence par l’état de base d’une cascade à 3 balles (111), on voit que ça correspond à un 7 en notation décimale. En fait, si tu prends une figure de base à N balles, la notation décimale pour celle-ci sera 2N-1. Cela sera expliqué ultérieurement. Si maintenant tu devais lancer un 4 à partir de cet état, tu te retrouverais à l’état 1011, qui correspond à 11 en binaire. Il y a une formule simple qui relie l’état de départ, le type de lancer et l’état final.

S = état initial
T = type de lancer
F = état final = (S + 2T - 1)/2

Ok, mais si je veux faire des multiplex…
Comme tu le sais probablement déjà, le siteswap note les lancers simultanés de la même main en les écrivant entre crochets, par exemple [54] veut dire que tu lances un 5 et un 4 en même temps. La façon dont les diagrammes d’état résolvent ce problème est très simple. Au lieu d’écrire un 1 pour une balle, on écrit un 2 pour indiquer qu’il y a deux balles à cet emplacement. Supposons par exemple que tu jongles une fontaine à 4 balles, puis que tu ‘lances’ un 2, tu te déplaceras de l’état 1111 à l’état 121.

Maintenant qu’on peut avoir les 1 et les 2 dans la ligne d’état, le système binaire n’est plus utile. On pourrait compter en se servant d’une base 3, qui autoriserait les 0, les 1 et les 2. Mais les calculs sont difficiles dans ce système (rare) de base 3. Par ailleurs, supposons qu’on lance 3 balles simultanément de la même main.

La solution que j’ai trouvé pour ce problème est de se servir d’un système de notation décimal. Cela donnerait la possibilité de lancer simultanément 9 balles de la même main – bien entendu humainement impossible, et en tous cas pas une solution définitive. Cependant, la caractéristique la plus utile de ce système est que la chaîne de données entrée représente la ligne d’état exactement comme elle est écrite. Ceci rend le système plus facilement utilisable. Retourons à la formule proposée ci-dessus:

(S + 2T - 1) / 2

et remplaçons-la par:

(S + 10T - 1) / 10

Nous voyons maintenant la ligne d’état exactement telle qu’elle apparaît. Cependant, quelques modifications sont nécessaires pour y faire figurer les multiplexes. Pour chaque balle lancée en multiplexe, nous devons ajouter 10T, où T est le type de lancer. De plus, il faudra y soustraire N à la place de 1, où N est le nombre de balles lancées en multiplexe. Nous obtenons ainsi:

Ti représente chaque balle successive des différents lancers simultanés. Si tu trouves à l’état 113 et que tu veux lancer un multiplexe [543] pour retourner à la cascade à 5 balles (11111), voici l’opération à réaliser:

(113 + 105 + 104 + 103 - 3) / 10 = 11111

Comment trouver de nouvelles figures avec cette méthode?

Maintenant, on peut combiner les lancers multiples simultanés (multiplexes) avec le tableau dessiné plus haut. Ce nouveau tableau fonctionne exactement comme avec des uniplexes, mais sera plus grand en fonction de la hauteur de lancer maximale afin d’y inclure le plus grand nombre d’états possibles. Le tableau est arrangé sur une base 3, c’est-à-dire que le nombre maximum de balles lancées simultanément est 2. Si le nombre de la base était plus élevé, le tableau deviendrait beaucoup trop grand.

Télécharge un tableau d’état contenant tous les états de base 3 et de hauteur de lancer maximale 5 (Microsoft Excel 95 au moins requis) - multistatechart.xls (197KB)

© Mark Thomas 2002.